عرض مصدر قانون الأعداد الكبيرة

{{كاتب الصفحة}}
يُعَدّ قانون الأعداد الكبيرة (LLN) في نظرية الاحتمالات نظرية رياضية تنص على أن متوسط النتائج المُحصَّلة من عدد كبير من العينات العشوائية المستقلة والمتطابقة يقترب من القيمة الحقيقية في حال وجودها.<ref name=":0">{{Cite book|title=A Modern Introduction to Probability and Statistics| url=https://archive.org/details/modernintroducti00fmde|url-access=limited| last=Dekking|first=Michel| publisher=Springer| year=2005|isbn=9781852338961|pages=[https://archive.org/details/modernintroducti00fmde/page/n191 181]–190}}</ref>  ينص قانون الأعداد الكبيرة رسميًا على أنه إذا كانت لدينا عينة من قيم مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا فإن متوسط هذه العينة يقترب من المتوسط الحقيقي.

إن قانون الأعداد الكبيرة مهم لأنه يضمن نتائج مستقرة على المدى الطويل لمتوسطات بعض الأحداث العشوائية.<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal|last1=Yao|first1=Kai|last2=Gao|first2=Jinwu|date=2016|title=Law of Large Numbers for Uncertain Random Variables|journal=IEEE Transactions on Fuzzy Systems| volume=24| issue=3| pages=615–621| doi=10.1109/TFUZZ.2015.2466080| s2cid=2238905|issn=1063-6706}}</ref> ومن الأمثلة على ذلك: بينما قد يخسر الكازينو المال في دوران واحد لعجلة الروليت، فإن أرباحه ستميل إلى نسبة مئوية متوقعة على مدار عدد كبير من الدورات.

وإن أية سلسلة انتصارات يحققها لاعب ما ستتغلب عليها معايير اللعبة في نهاية المطاف. ومن المهم أن نعرف أيضا أن قانون الأعداد الكبيرة (كما يشير اسمه) ينطبق فقط عندما نأخذ في عين الاعتبار عددًا أكبر من الملاحظات.

لا يوجد مبدأ يقضي بأن يتطابق عدد قليل من الملاحظات مع القيمة المتوقعة أو أن تتوازن سلسلة من قيمة ما على الفور بالقيم الأخرى (انظر مغالطة المُقامر للاستزادة).

ينطبق قانون الأعداد الكبيرة فقط على متوسط نتائج التجارب المتكررة، ويدعي أن هذا المتوسط يتقارب مع القيمة المتوقعة؛ ولا يدعي أن مجموع عدد (n) من النتائج يقترب من القيمة المتوقعة مضروبة في (n) كلما ازدادت قيمة (n).

عمل العديد من علماء الرياضيات على تحسين هذا القانون على مدار تاريخه، ويُستخدم قانون الأعداد الكبيرة اليوم في العديد من المجالات بما في ذلك الإحصاء ونظرية الاحتمالات والاقتصاد والتأمين.<ref name=":1">{{Cite web |last=Sedor |first=Kelly |title=The Law of Large Numbers and its Applications |url=https://www.lakeheadu.ca/sites/default/files/uploads/77/images/Sedor%20Kelly.pdf}}</ref>

==أمثلة عن قانون الأعداد الكبيرة==
ينتج عن رمية نرد واحدة واحد من الأرقام التالية (1، 2، 3، 4، 5، أو 6) ولكلّ منها احتمال مُتساوٍ. ولذلك فإنّ القيمة المتوقّعة لمعدّل الرمياتِ هي:
<math display="block"> \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5</math>

إذا رُمي عدد كبير من حجار النرد ذات الستة أوجه، فإن متوسط قيمها (الذي يُسمى أحيانًا بالمتوسط العيني) سيقترب من 3.5، وتزداد هذه الدقة كلما زاد عدد النرد المُلقاة.

ينص قانون الأعداد الكبيرة على أن الاحتمال التجريبي للنجاح في سلسلة من تجارب بِرنولي سيتقارب مع الاحتمال النظري. بالنسبة لمتغير عشوائي برنولي، فإن القيمة المتوقعة هي الاحتمال النظري للنجاح، ومتوسط (n) من هذه المتغيرات (على افتراض أنها مستقلة ومتطابقة التوزيع) هو بالضبط التكرار النسبي.

على سبيل المثال، يُعدُّ رمي العملة تجربة بيرنولية. عندما تُقلب عملة عادلة مرة واحدة، فإن الاحتمال النظري لظهور الوجه الأمامي يساوي {{frac|1|2}}. 

لذلك، ووفقًا لقانون الأعداد الكبيرة، يجب أن تكون نسبة ظهور الوجه الأمامي في عدد "كبير" من رميات العملة حوالي {{frac|1|2}}. وبوجه خاص، فإن نسبة ظهور الوجه الأمامي بعد (n) رمية ستتقارب بالتأكيد إلى {{frac|1|2}} عندما يقترب (n) من اللانهاية.

على الرغم من أن نسبة كل من الوجه والظهر تقترب من {{frac|1|2}}، فإن الفرق المطلق بين عدد مرات الوجه وعدد مرات الظهر سيصبح كبيرًا تقريبًا على الأكيد كلما ازداد عدد الرميات. أي أن احتمال أن يكون الفرق المطلق عددًا صغيرًا يقترب من الصفر مع زيادة عدد الرميات.

كذلك، من المؤكد تقريبًا أن نسبة الفرق المطلق إلى عدد الرميات ستقترب من الصفر. بعبارة أخرى، فإن الفرق المتوقع سيكبر، ولكن بمعدل أبطأ من معدل زيادة عدد الرميات.

مثال آخر جيد على قانون الأعداد الكبيرة هو طريقة مونت كارلو. تمثل هذه الطرق فئة واسعة من الخوارزميات الحسابية التي تعتمد على أخذ عينات عشوائية متكررة للحصول على نتائج عددية. تزداد دقة التقريب بزيادة عدد التكرارات.

تكمن أهمية هذه الطريقة في أنه في بعض الأحيان قد يكون من الصعب أو المستحيل استخدام طرق أخرى.<ref>{{Cite journal|last1=Kroese|first1=Dirk P.| last2=Brereton|first2=Tim| last3=Taimre|first3=Thomas|last4=Botev|first4=Zdravko I.|date=2014|title=Why the Monte Carlo method is so important today|journal=Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics| language=en| volume=6| issue=6|pages=386–392|doi=10.1002/wics.1314|s2cid=18521840}}</ref>

==محدودية قانون الأعداد الكبيرة==
قد لا يؤول متوسط نتائج عدد كبير من التجارب في بعض الحالات إلى التقارب. على سبيل المثال، لن يؤول متوسط "n" نتيجة مأخوذة من توزيع كوشي أو بعض توزيعات باريتو (α<1) إلى التقارب بزيادة n. والسبب في ذلك هو ذيول التوزيع الثقيلة.<ref>{{Cite book |title=A modern introduction to probability and statistics: understandig why and how |date=2005 |publisher=Springer |isbn=978-1-85233-896-1 |editor-last=Dekking |editor-first=Michel |series=Springer texts in statistics |location=London [Heidelberg] |pages=187}}</ref>

تُمثل توزيعات كوشي وبريتو حالتين: الحالة الأولى لايوجد قيمة متوقعة لتوزيع كوشي،<ref>{{Cite book|title=A Modern Introduction to Probability and Statistics|url=https://archive.org/details/modernintroducti00fmde|url-access=limited| last=Dekking|first=Michel|publisher=Springer|year=2005|isbn=9781852338961|pages=[https://archive.org/details/modernintroducti00fmde/page/n102 92]}}</ref> بينما تكون قيمة توقع توزيع بريتو (α<1) لا نهائية.<ref>{{Cite book|title=A Modern Introduction to Probability and Statistics|url=https://archive.org/details/modernintroducti00fmde| url-access=limited| last=Dekking|first=Michel| publisher=Springer| year=2005| isbn=9781852338961| pages=[https://archive.org/details/modernintroducti00fmde/page/n74 63]}}</ref> هناك طريقة واحدة لتوليد مثال يتبع توزيع كوشي وهي عندما تساوي الأرقام العشوائية مماس (ظل) الزاوية موحدة التوزيع بين −90° و +90°.<ref>{{Cite journal |last1=Pitman |first1=E. J. G. |last2=Williams |first2=E. J. |date=1967 |title=Cauchy-Distributed Functions of Cauchy Variates |url=https://www.jstor.org/stable/2239008 |journal=The Annals of Mathematical Statistics |volume=38 |issue=3 |pages=916–918 |doi=10.1214/aoms/1177698885 |jstor=2239008 |issn=0003-4851|doi-access=free }}</ref>
الوسيط هو صفر، لكن القيمة المتوقعة غير موجودة، وبالفعل متوسط "n" من هذه المتغيرات له نفس توزيع أحد هذه المتغيرات. لا يتقارب في الاحتمال نحو الصفر (أو أي قيمة أخرى) حيث يتجه "n" إلى ما لا نهاية.

وإذا كانت التجارب تتضمن تحيزا في الاختيار ، الحالة النموذجية في السلوك الاقتصادي / العقلاني البشري، فإن قانون الأعداد الكبيرة لا يساعد في حل التحيز. وحتى إذا زاد عدد المحاكمات، فإن التحيز في الاختيار لا يزال قائما.

==تاريخ قانون الأعداد الكبيرة==
يُقال إن عالم الرياضيات الإيطالي جيرولامو كاردانو (1501-1576) صرح بدون إثبات بأن دقة الإحصائيات التجريبية تميل إلى التحسن مع زيادة عدد التجارب.<ref>{{cite book |last=Mlodinow |first=L. |title=The Drunkard's Walk |location=New York |publisher=Random House |year=2008 |page=50}}</ref><ref name=":1" /> صيغ هذا لاحقًا على أنه قانون الأعداد الكبيرة.

كان يعقوب بيرنولي أول من أثبت شكلاً خاصًا لقانون الأعداد الكبيرة (لمتغير عشوائي ثنائي).<ref>{{cite book |first=Jakob |last=Bernoulli |title=Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis |language=la |year=1713 |chapter=4 |translator-first=Oscar |translator-last=Sheynin}}</ref><ref name=":1" /> استغرق الأمر منه أكثر من 20 عامًا لتطوير برهان رياضي صارم كافٍ نُشر في كتابه "فن التخمين" (Ars Conjectandi) عام 1713. أطلق عليه اسم "المبرهنة الذهبية" ولكنه أصبح يُعرف عمومًا باسم "مبرهنة بيرنولي". لا ينبغي الخلط بين هذا وبين مبدأ برنولي، الذي سمي على اسم ابن شقيق يعقوب بيرنولي، دانيال بيرنولي.

في عام 1837، وصفه سيميون دينيس بواسون (S. D. Poisson) أيضًا تحت اسم "قانون الأعداد الكبيرة" (la loi des grands nombres).<ref>Poisson names the "law of large numbers" ({{lang|fr|la loi des grands nombres}}) in: {{cite book |first=S. D. |last=Poisson |title=Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilitiés |location=Paris, France |publisher=Bachelier |year=1837 |page=[https://archive.org/details/recherchessurla02poisgoog/page/n30 7] |language=fr}} He attempts a two-part proof of the law on pp. 139–143 and pp. 277 ff.</ref><ref>{{cite journal |last=Hacking |first=Ian |year=1983 |title=19th-century Cracks in the Concept of Determinism |journal=Journal of the History of Ideas |volume=44 |issue=3 |pages=455–475 |doi=10.2307/2709176 |jstor=2709176}}</ref><ref name=":1" /> ومنذ ذلك الحين، أصبح يُعرف  بكلتا التسميتين، لكن اسم "قانون الأعداد الكبيرة" هو السائد.

==أشكال قانون الأعداد الكبيرة==
يوجد نوعان مختلفان لقانون الأعداد الكبيرة: يُسمى الأول قانون الأعداد الكبيرة القوي، والثاني قانون الأعداد الكبيرة الضعيف.<ref>{{Cite book|title=A Course in Mathematical Statistics and Large Sample Theory| last1=Bhattacharya|first1=Rabi| last2=Lin|first2=Lizhen| last3=Patrangenaru|first3=Victor| date=2016| publisher=Springer New York| isbn=978-1-4939-4030-1| series=Springer Texts in Statistics| location=New York, NY| doi=10.1007/978-1-4939-4032-5}}</ref><ref name=":0" />

بفرض أن ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>... تمثل متسلسلة لا نهائية من المتغيرات العشوائية القابلة للتكامل (تكامل لوبيغ) والمستقلة والموزعة توزيعًا متطابقًا مع قيمة متوقعة E(''X''<sub>1</sub>) = E(''X''<sub>2</sub>) = ... = ''μ''، ينص كلا الشكلين  من القانون على أن متوسط العينة:
<math display="block">\overline{X}_n=\frac1n(X_1+\cdots+X_n) </math>
يتقارب إلى القيمة المتوقعة:
{{NumBlk||<math display="block">\overline{X}_n \to \mu \quad\textrm{as}\ n \to \infty.</math>|{{EquationRef|1}}}}

(تعني قابلية تكامل لوبيغ ل ''X<sub>j</sub>'' أن القيمة المتوقعة E(''X<sub>j</sub>'' موجودة وفقا لتكامل لوبيغ وهي محدودة. ولا يعني هذا أن مقياس الاحتمال المرتبط مستمر فيما يتعلق بمقياس لوبيغ.)

غالبا ما تفترض نصوص الاحتمالات التمهيدية تباينا محدودا متطابقا <math> \operatorname{Var} (X_i) = \sigma^2 </math> (لجميع <math>i</math>) ولا يوجد ارتباط بين المتغيرات العشوائية. في هذه الحالة ، يكون تباين متوسط المتغيرات العشوائية n:
<math display="block">\operatorname{Var}(\overline{X}_n) = \operatorname{Var}(\tfrac1n(X_1+\cdots+X_n)) = \frac{1}{n^2} \operatorname{Var}(X_1+\cdots+X_n) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}.</math>

والتي يمكن استخدامها لاختصار وإيجاز الإثباتات، ولا يلزم افتراض التباين النهائي، إذ إن التباين الكبير أو اللانهائي سيجعل التقارب أبطأ، ولكن قانون الأعداد الكبيرة (LLN) يظل قائما على أي حال.<ref name="TaoBlog">{{cite web|title=The strong law of large numbers – What's new|date=19 June 2008|url=http://terrytao.wordpress.com/2008/06/18/the-strong-law-of-large-numbers/|access-date=2012-06-09|publisher=Terrytao.wordpress.com}}</ref> 

يمكن استبدال الاستقلال المتبادل للمتغيرات العشوائية بالاستقلال الزوجي <ref>{{cite journal|last1=Etemadi|first1=N. Z.|date=1981|title=An elementary proof of the strong law of large numbers|journal=Wahrscheinlichkeitstheorie Verw Gebiete| volume=55| issue=1| pages=119–122| doi=10.1007/BF01013465|s2cid=122166046|doi-access=free}}</ref> أو قابلية التبادل<ref>{{Cite journal| last=Kingman|first=J. F. C.|date=April 1978|title=Uses of Exchangeability|journal=The Annals of Probability| language=en| volume=6|issue=2|doi=10.1214/aop/1176995566|issn=0091-1798|doi-access=free}}</ref> في كلا شكلي قانون الأعداد الكبيرة.
==المصادر==
{{refbegin}}
* {{cite book |last1=Grimmett |first1=G. R.  |last2=Stirzaker |first2=D. R. | title=Probability and Random Processes |edition=2nd | publisher=Clarendon Press |location=Oxford | year=1992 | isbn=0-19-853665-8}}
* {{cite book | first=Richard |last=Durrett | title=Probability: Theory and Examples |edition=2nd | publisher=Duxbury Press | year=1995}}
* {{cite book | author=Martin Jacobsen | publisher= HCØ-tryk |location=Copenhagen | year=1992|title=Videregående Sandsynlighedsregning |language=da |trans-title=Advanced Probability Theory |edition=3rd | isbn=87-91180-71-6}}
* {{cite book
  | last = Loève | first = Michel
  | title = Probability theory 1
  | year = 1977
  | edition = 4th
  | publisher = Springer
  }}
* {{cite book
  | last1 = Newey | first1 = Whitney K.
  | last2 = McFadden | first2 = Daniel | author-link2 = Daniel McFadden
  | title = Large sample estimation and hypothesis testing
  | series = Handbook of econometrics |volume=IV |chapter=36
  | year = 1994
  | publisher = Elsevier Science
  | pages = 2111–2245
  }}
* {{cite book
  | last = Ross | first = Sheldon
  | title = A first course in probability
  | year = 2009
  | edition = 8th
  | publisher = Prentice Hall
  | isbn = 978-0-13-603313-4
  }}
* {{cite book
  | last1 = Sen | first1 = P. K
  | last2 = Singer | first2 = J. M.
  | year = 1993
  | title = Large sample methods in statistics
  | publisher = Chapman & Hall
  }}
* {{cite journal|last=Seneta|first=Eugene|title=A Tricentenary history of the Law of Large Numbers| journal=Bernoulli| volume=19| issue=4| pages=1088–1121| date=2013|doi=10.3150/12-BEJSP12|arxiv=1309.6488|s2cid=88520834}}

{{refend}}
==المراجع==
{{مراجع|2}}

[[تصنيف:تقانة]]
{{#vardefine:infoboxseo|1}}{{#seo:
|title 			= {{PAGENAME}} - ويكي عربية
|site_name		= ويكي عربية
|type			= article
|description=ينص قانون الأعداد الكبيرة رسميًا على أنه إذا كانت لدينا عينة من قيم مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا فإن متوسط هذه العينة يقترب من المتوسط الحقيقي.
|locale			= {{PAGELANGUAGE}}
|image 			= 
}}
{{Short description|ينص قانون الأعداد الكبيرة رسميًا على أنه إذا كانت لدينا عينة من قيم مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا فإن متوسط هذه العينة يقترب من المتوسط الحقيقي.}}