قانون الأعداد الكبيرة

يُعَدّ قانون الأعداد الكبيرة (LLN) في نظرية الاحتمالات نظرية رياضية تنص على أن متوسط النتائج المُحصَّلة من عدد كبير من العينات العشوائية المستقلة والمتطابقة يقترب من القيمة الحقيقية في حال وجودها. ينص قانون الأعداد الكبيرة رسميًا على أنه إذا كانت لدينا عينة من قيم مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا فإن متوسط هذه العينة يقترب من المتوسط الحقيقي.

إن قانون الأعداد الكبيرة مهم لأنه يضمن نتائج مستقرة على المدى الطويل لمتوسطات بعض الأحداث العشوائية. ومن الأمثلة على ذلك: بينما قد يخسر الكازينو المال في دوران واحد لعجلة الروليت، فإن أرباحه ستميل إلى نسبة مئوية متوقعة على مدار عدد كبير من الدورات.

وإن أية سلسلة انتصارات يحققها لاعب ما ستتغلب عليها معايير اللعبة في نهاية المطاف. ومن المهم أن نعرف أيضا أن قانون الأعداد الكبيرة (كما يشير اسمه) ينطبق فقط عندما نأخذ في عين الاعتبار عددًا أكبر من الملاحظات.

لا يوجد مبدأ يقضي بأن يتطابق عدد قليل من الملاحظات مع القيمة المتوقعة أو أن تتوازن سلسلة من قيمة ما على الفور بالقيم الأخرى (انظر مغالطة المُقامر للاستزادة).

ينطبق قانون الأعداد الكبيرة فقط على متوسط نتائج التجارب المتكررة، ويدعي أن هذا المتوسط يتقارب مع القيمة المتوقعة؛ ولا يدعي أن مجموع عدد (n) من النتائج يقترب من القيمة المتوقعة مضروبة في (n) كلما ازدادت قيمة (n).

عمل العديد من علماء الرياضيات على تحسين هذا القانون على مدار تاريخه، ويُستخدم قانون الأعداد الكبيرة اليوم في العديد من المجالات بما في ذلك الإحصاء ونظرية الاحتمالات والاقتصاد والتأمين.

أمثلة عن قانون الأعداد الكبيرة

ينتج عن رمية نرد واحدة واحد من الأرقام التالية (1، 2، 3، 4، 5، أو 6) ولكلّ منها احتمال مُتساوٍ. ولذلك فإنّ القيمة المتوقّعة لمعدّل الرمياتِ هي:

$${\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5$$

إذا رُمي عدد كبير من حجار النرد ذات الستة أوجه، فإن متوسط قيمها (الذي يُسمى أحيانًا بالمتوسط العيني) سيقترب من 3.5، وتزداد هذه الدقة كلما زاد عدد النرد المُلقاة.

For a Bernoulli random variable, the expected value is the theoretical probability of success, and the average of n such variables (assuming they are independent and identically distributed (i.i.d.)) is precisely the relative frequency.

ينص قانون الأعداد الكبيرة على أن الاحتمال التجريبي للنجاح في سلسلة من تجارب بِرنولي سيتقارب مع الاحتمال النظري. بالنسبة لمتغير عشوائي برنولي، فإن القيمة المتوقعة هي الاحتمال النظري للنجاح، ومتوسط (n) من هذه المتغيرات (على افتراض أنها مستقلة ومتطابقة التوزيع) هو بالضبط التكرار النسبي.

على سبيل المثال، يُعدُّ رمي العملة تجربة بيرنولية. عندما تُقلب عملة عادلة مرة واحدة، فإن الاحتمال النظري لظهور الوجه الأمامي يساوي ¹⁄₂.

لذلك، ووفقًا لقانون الأعداد الكبيرة، يجب أن تكون نسبة ظهور الوجه الأمامي في عدد "كبير" من رميات العملة حوالي ¹⁄₂. وبوجه خاص، فإن نسبة ظهور الوجه الأمامي بعد (n) رمية ستتقارب بالتأكيد إلى ¹⁄₂ عندما يقترب (n) من اللانهاية.

على الرغم من أن نسبة كل من الوجه والظهر تقترب من ¹⁄₂، فإن الفرق المطلق بين عدد مرات الوجه وعدد مرات الظهر سيصبح كبيرًا تقريبًا على الأكيد كلما ازداد عدد الرميات. أي أن احتمال أن يكون الفرق المطلق عددًا صغيرًا يقترب من الصفر مع زيادة عدد الرميات.

كذلك، من المؤكد تقريبًا أن نسبة الفرق المطلق إلى عدد الرميات ستقترب من الصفر. بعبارة أخرى، فإن الفرق المتوقع سيكبر، ولكن بمعدل أبطأ من معدل زيادة عدد الرميات.

مثال آخر جيد على قانون الأعداد الكبيرة هو طريقة مونت كارلو. تمثل هذه الطرق فئة واسعة من الخوارزميات الحسابية التي تعتمد على أخذ عينات عشوائية متكررة للحصول على نتائج عددية.

كلما زاد عدد التكرارات، كانت التقريب أفضل. تكمن أهمية هذه الطريقة في أنه في بعض الأحيان قد يكون من الصعب أو المستحيل استخدام طرق أخرى.